'True' (સાચું) અથવા 'False' (ખોટું) લખો અને તમારા જવાબ માટે કારણ આપો.
$AB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે અને $AC$ તેની જીવા છે જેથી $\angle BAC = 30^{\circ}$ થાય. જો $C$ આગળનો સ્પર્શક $AB$ ને લંબાવતા $D$ બિંદુએ છેદે,તો $BC = BD$ થાય.

(A) સાચું (True)
સાબિત કરવાનું છે: $BC = BD$.
$1$. $OC$ ને જોડો. $AB$ વ્યાસ હોવાથી,$\angle ACB = 90^{\circ}$ (અર્ધવર્તુળનો ખૂણો).
$2$. $\triangle ABC$ માં,$\angle ABC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$.
$3$. $OC$ ત્રિજ્યા છે અને $CD$ સ્પર્શક છે,તેથી $OC \perp CD$,એટલે કે $\angle OCD = 90^{\circ}$.
$4$. $\triangle OAC$ માં,$OA = OC$ (ત્રિજ્યાઓ),તેથી $\angle OCA = \angle OAC = 30^{\circ}$.
$5$. $\angle BCD = \angle OCD - \angle OCB = 90^{\circ} - (90^{\circ} - 30^{\circ}) = 30^{\circ}$.
$6$. $\triangle BCD$ માં,$\angle CBD = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
$7$. $\triangle BCD$ માં,$\angle BDC = 180^{\circ} - (120^{\circ} + 30^{\circ}) = 30^{\circ}$.
$8$. $\angle BCD = \angle BDC = 30^{\circ}$ હોવાથી,સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય,તેથી $BC = BD$ થાય.